UNIDAD III: Teoría de Colas

TEORÍA DE COLAS

Los clientes que requieren un servicio se genera en el tiempo en una fuente de entrada, estos clientes entran al sistema y se unen en una cola, en determinado momento se selecciona un miembro de la cola para proporcionarle el servicio, mediante una regla conocida como disciplina de servicio  después el cliente sale del sistema.

Regla de servicio : FIFO - Primero en llegar primero en ser servido
Fuente de entrada

Una característica principal de la fuente de entrada es su tamaño, el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, las unidades que llegan se conocen como población de entrada, puede exponerse que el tamaño es infinito o finito. Como los cálculos son muchos mas sencillos para el caso infinito, esta suposición se hace a menudo aun cuando el tamaño real sea un número fijo relativamente grande.

Mecanismo de servicio

Consiste en  una o más instalaciones de servicio con uno o más servicios paralelos llamados servidores. En un instante el cliente entra en uno de éstos canales y el servidor le presta el servicio, el tiempo que transcurre desde el inicio hasta su terminación, se llama tiempo de servicio,  modelo de colas de un sistema debe especificar la distribución se llama tiempo de servicio de servicio que más se usa es la distribución exponencial, por consecuencia estos modelo se etiquetan.
Distribución del tiempo entre llegada, distribución del tiempo de servicio, número de servidores.

Donde:

M: Distribución exponencial
D: Distribución degenerada
Ek: Distribución Erlano
G: Distribución general.

Modelo de Colas de un solo Servidor con Llegadas de Poisson y Tiempo de Servicio Exponencial M/M/1

Los supuestos son las siguientes:

1:Las llegadas se tienen sobre una base FIFO.

2:Cada llegada debe ser atendido.

3:Las llegadas son independientes, el numero promedio no cambia a lo largo del tiempo.

4:Las llegadas se describen con una distribución de probabilidad de Poisson y provienen de una población infinita o muy grande.

5:Los tiempos de servicio también varían de un cliente al siguiente y son independientes entre sí pero se conoce su tasa promedio.

6:Los tiempos de servicio ocurren de acuerdo con una distribución exponencial negativa.

7:La tasa de servicio promedio es mayor que la tasa promedio de llegada.

Ecuaciones:
= número medio de llegada por periodo.
 u= número medio de personas que se atienden por periodo.

1. Número promedio de clientes en el sistema L:

2. Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema W.

3. Número promedio de clientes en la cola Lq.

4. Tiempo promedio que un cliente para esperando en la cola Wq.

5. Factor de utilización del sistema P.

6. Porcentaje de tiempo ocioso Po.

7. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.

Modelo de colas Simple con Servidores 

Múltiples M/M/n

Los supuestos son los siguientes:

1:Una población de clientes infinitas.

2:El proceso de llegada de los clientes de acuerdo a la distribución de Poisson con una tasa promedio de clientes por unidad de tiempo.

3:El proceso de cola consiste en una sola línea de espera de capacidad infinita con una disciplina de cola FIFO.

4:El proceso de servicio consiste en “c” servidores idénticos, cada uno de los cuales atiende a los clientes de acuerdo a una distribución exponencial con una cantidad promedio de “u” clientes por unidad de tiempo.

Ecuaciones

1. La probabilidad de que haya 0 clientes en el sistema.

2. Numero promedio de clientes que se encuentran en la linea de espera.

3. Tiempo promedio de espera en la cola.

4. Tiempo promedio de espera en el sistema.

5. Numero promedio de clientes en el sistema

6. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.

7. La probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar.

Ejemplo

UNIDAD II: Teoría del Inventario

TEORÍA DE INVENTARIO

Inventario son las existencias de cualquier artículo o recurso utilizado en una organización. Un sistema de inventario es la serie de políticas y controles que monitorean los niveles de inventario y determinan los niveles que se deben mantener, el momento en que las existencias se deben reponer y el tamaño que deben tener los pedidos. El inventario en el sector manufacturero se clasifica tipicamente en materias primas, productos terminados, partes componentes, suministros y trabajo en proceso. En el sector servicios, el inventario se refiere generalmente a los bienes tangibles que van a venderse y a los suministros necesarios para administrar el servicio. El objetivo básico del análisis de inventario en el sector manufacturero y en los servicios de mantenimiento de las existencias es especificar.

Los modelos de inventarios responden a las siguientes preguntas:

¿Qué cantidad se debe producir?

¿Cuánto pedir?

Cantidad de Lote Económico “EOQ”

El modelo EOQ o de cantidad económica de pedido es un modelo de compra aplicado  para

inventarios con demanda independiente y presenta las siguientes características:

• Demanda constante y conocida.
• No admite faltantes.
• Presenta el costo de mantener guardado el inventario.
• Presenta el costo de pedido.
• Los costos son constantes. Por ejemplo: los costos no varían por la fluctuación del dólar. 
• Reposición instantánea, es decir, los pedidos se envían completos (No hay entregas parciales) y no existe tiempo de demora.

Para el modelo EOQ Básico los únicos costos considerados son:

k: costo de preparación para producir

c: costo de producir o comprar una unidad

h: costo de mantener el inventario

d: demanda 

Ejemplo 1

Si la demanda de un artículo es constante de 9000 unidades / año el costo a ordenar es de 2.5 dólares /orden y el costo de conservación es de 2 dólares por unidad al año.

1. Encuentre el tamaño del lote económico.
2. Número de ordenes por año.
3. Cada cuanto tiempo llega un pedido.
4. Cual es el costo del inventario anual.
5. Cual es el punto de reorden si el tiempo de entrega es de 3 días.
   

Ejemplo 2 
Un agente de mercedes benz debe pagar 20 000 dólares por cada automóvil que compra , el costo anual de almacenamiento es de 25% del valor del automóvil , el agente vende 500 autos al año su costo por faltantes sera de 20000 dólares. Cada vez que el agente coloca un pedido su costo es de 10 000 dólares determine:

1. La cantidad que debe ordenar el cada pedido Q
2. El máximo nivel de inventario.
3. el numero de ordenes por año
4. El costo mínimo anual.

Modelo Económico EOQ Con Faltantes

Este modelo está diseñado para el tipo de situación donde ocurren faltantes de inventario (una demanda que no puede cubrirse en la actualidad porque el inventario está agotado) y los clientes generalmente pueden y están dispuestos a aceptar un retraso razonable en el surtido de sus productos si es necesario. Esto genera la necesidad de llevar registros adicionales que permitan cubrir las órdenes atrasadas, cuando se pueda reabastecer el inventario.

Suposiciones del modelo:

•    Una tasa de demanda constante. 
• La cantidad a ordenar para reabastecer el inventario llega toda a la vez cuando se desea.

Se permiten los faltantes planeados. Cuando ocurre un faltante, los clientes afectados esperan a que el producto esté disponible de nuevo. Sus órdenes pendientes se surten de inmediato cuando llega la cantidad ordenada para reabastecer el inventario.

Ejemplo

La demanda de un artículo es de 1000 unidades al mes, se permite défices. Si el costo unitario es de 1.50 dolare, el costo de hacer una compra es de 600 dolares, además el costo de tener una unidad en un inventario es de 2 dolares por año  y el costo por faltante es de 10 dolares al año. Determinar:

a) La cantidad optima que debe comprarse.

b) El nivel máximo de faltantes.

Solución.

d = 1000(12)

c = $ 1.50

k = $ 600

h = $ 2

p = $ 10

Modelo EOQ Descuento por Cantidad

A menudo los suministradores ofrecen descuentos en los precios del producto servido si les compramos en grandes cantidades. Tales descuentos se habrán de tener en consideración a la hora de decidir qué cantidad nos conviene adquirir y cuándo deberemos efectuar los pedidos.

Este modelo es idéntico al EOQ clásico, excepto que el artículo en el inventario se puede comprar con un descuento si el volumen de pedido excede un límite dado.

• Se trata de una lista de los descuentos por unidad correspondientes a cada compra.  
• Normalmente, el precio por unidad baja a medida que la cantidad aumenta.
• El costo no es lineal.
• Se establece un intercambio entre la reducción del precio y el aumento del costo de almacenamiento (Aumenta por cuanto los pedidos son mayores)

Procedimiento

1.-Para costo unitario use la fórmula del  EOQ para calcular la cantidad optima a ordenar.

2.-para  cada Cj donde Qj* se encuentra dentro del intervalo factible de cantidades a ordenar,calcule el costo total correspondiente por unidad de tiempo Tj donde :

Tj=dk/Q* + dCj  + hQ*/2

3.-Para cada Cj donde Qj* no están dentro del intervalo factible de cantidades a ordenar,determine la cantidad a ordenar  Qj que se encuentra rn rl punto terminal mas cercano a Qj*.Calcule el cossto total por unidad de tiempo Tj.

4.-Compare lo Tj obtenidos para todos lo Cj y elija el Tj mínimo, después seleccione la cantidad la cantidad a ordenar Q*j obtenidas en el paso 2 o 3, queda el Tj mínimo.

D = Demanda anual de producto

C = Costo del producto por unidad

Q = Cantidad optima a pedir

h = Costo anual de inventario

Ejemplo

Una empresa esta interesada en adquirir cajas para CD (10 unidades por caja), el valor unitario de cada caja depende de la cantidad adquirida de acuerdo a los valores de la tabla. La empresa requiere almacenar 10000 discos al año, el costo de emitir una orden se estima en 100 dolares, el costo unico de mantension de unidades esta asociado al costo de oportunidad del capital, el cual se asume 20 % al año.

Cada vez que se emita una orden : ¿Cuantas cajas para CD deben ser ordenadas?, ¿Cual es el costo total anual de satisfacer la demanda de  la empresa?

Modelo de Inventario Probabilístico

Consideramos un sistema de inventario de revisión continúa. El nivel del inventario debe ser supervisado de forma continúa por lo que una orden se debe colocar cuando el nivel del inventario llegue al punto de reorden es como que en un sistema de inventario de revisión continúa para un producto especifico se base en  dos números críticos.

R: punto de reorden

Q: cantidad a ordenar

Inventario de seguridad con la distribución normal

Cuando la demanda durante el tiempo de entrega (LT) tienen una distribución normal, el punto de reorden se convierte en :

Ejemplo

La compañía "X" y "M" tiene un inventario de varios artículos electrónicos que se identifican como SKU. Un artículo en particular tiene una demanda con distribución normal durante el tiempo de entrega con una media de 350 unidades y una desviación estándar de 10, la compañía quiere seguir una política en la que los faltantes ocurran tan solo 5% de las veces para cualquier orden. ¿Cuánto de inventario de seguridad debe almacenar y cual es el punto de reorden?