UNIDAD III: Teoría de Colas

TEORÍA DE COLAS

Los clientes que requieren un servicio se genera en el tiempo en una fuente de entrada, estos clientes entran al sistema y se unen en una cola, en determinado momento se selecciona un miembro de la cola para proporcionarle el servicio, mediante una regla conocida como disciplina de servicio  después el cliente sale del sistema.

Regla de servicio : FIFO - Primero en llegar primero en ser servido
Fuente de entrada

Una característica principal de la fuente de entrada es su tamaño, el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, las unidades que llegan se conocen como población de entrada, puede exponerse que el tamaño es infinito o finito. Como los cálculos son muchos mas sencillos para el caso infinito, esta suposición se hace a menudo aun cuando el tamaño real sea un número fijo relativamente grande.

Mecanismo de servicio

Consiste en  una o más instalaciones de servicio con uno o más servicios paralelos llamados servidores. En un instante el cliente entra en uno de éstos canales y el servidor le presta el servicio, el tiempo que transcurre desde el inicio hasta su terminación, se llama tiempo de servicio,  modelo de colas de un sistema debe especificar la distribución se llama tiempo de servicio de servicio que más se usa es la distribución exponencial, por consecuencia estos modelo se etiquetan.
Distribución del tiempo entre llegada, distribución del tiempo de servicio, número de servidores.

Donde:

M: Distribución exponencial
D: Distribución degenerada
Ek: Distribución Erlano
G: Distribución general.

Modelo de Colas de un solo Servidor con Llegadas de Poisson y Tiempo de Servicio Exponencial M/M/1

Los supuestos son las siguientes:

1:Las llegadas se tienen sobre una base FIFO.

2:Cada llegada debe ser atendido.

3:Las llegadas son independientes, el numero promedio no cambia a lo largo del tiempo.

4:Las llegadas se describen con una distribución de probabilidad de Poisson y provienen de una población infinita o muy grande.

5:Los tiempos de servicio también varían de un cliente al siguiente y son independientes entre sí pero se conoce su tasa promedio.

6:Los tiempos de servicio ocurren de acuerdo con una distribución exponencial negativa.

7:La tasa de servicio promedio es mayor que la tasa promedio de llegada.

Ecuaciones:
= número medio de llegada por periodo.
 u= número medio de personas que se atienden por periodo.

1. Número promedio de clientes en el sistema L:

2. Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema W.

3. Número promedio de clientes en la cola Lq.

4. Tiempo promedio que un cliente para esperando en la cola Wq.

5. Factor de utilización del sistema P.

6. Porcentaje de tiempo ocioso Po.

7. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.

Modelo de colas Simple con Servidores 

Múltiples M/M/n

Los supuestos son los siguientes:

1:Una población de clientes infinitas.

2:El proceso de llegada de los clientes de acuerdo a la distribución de Poisson con una tasa promedio de clientes por unidad de tiempo.

3:El proceso de cola consiste en una sola línea de espera de capacidad infinita con una disciplina de cola FIFO.

4:El proceso de servicio consiste en “c” servidores idénticos, cada uno de los cuales atiende a los clientes de acuerdo a una distribución exponencial con una cantidad promedio de “u” clientes por unidad de tiempo.

Ecuaciones

1. La probabilidad de que haya 0 clientes en el sistema.

2. Numero promedio de clientes que se encuentran en la linea de espera.

3. Tiempo promedio de espera en la cola.

4. Tiempo promedio de espera en el sistema.

5. Numero promedio de clientes en el sistema

6. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.

7. La probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar.

Ejemplo

UNIDAD II: Teoría del Inventario

TEORÍA DE INVENTARIO

Inventario son las existencias de cualquier artículo o recurso utilizado en una organización. Un sistema de inventario es la serie de políticas y controles que monitorean los niveles de inventario y determinan los niveles que se deben mantener, el momento en que las existencias se deben reponer y el tamaño que deben tener los pedidos. El inventario en el sector manufacturero se clasifica tipicamente en materias primas, productos terminados, partes componentes, suministros y trabajo en proceso. En el sector servicios, el inventario se refiere generalmente a los bienes tangibles que van a venderse y a los suministros necesarios para administrar el servicio. El objetivo básico del análisis de inventario en el sector manufacturero y en los servicios de mantenimiento de las existencias es especificar.

Los modelos de inventarios responden a las siguientes preguntas:

¿Qué cantidad se debe producir?

¿Cuánto pedir?

Cantidad de Lote Económico “EOQ”

El modelo EOQ o de cantidad económica de pedido es un modelo de compra aplicado  para

inventarios con demanda independiente y presenta las siguientes características:

• Demanda constante y conocida.
• No admite faltantes.
• Presenta el costo de mantener guardado el inventario.
• Presenta el costo de pedido.
• Los costos son constantes. Por ejemplo: los costos no varían por la fluctuación del dólar. 
• Reposición instantánea, es decir, los pedidos se envían completos (No hay entregas parciales) y no existe tiempo de demora.

Para el modelo EOQ Básico los únicos costos considerados son:

k: costo de preparación para producir

c: costo de producir o comprar una unidad

h: costo de mantener el inventario

d: demanda 

Ejemplo 1

Si la demanda de un artículo es constante de 9000 unidades / año el costo a ordenar es de 2.5 dólares /orden y el costo de conservación es de 2 dólares por unidad al año.

1. Encuentre el tamaño del lote económico.
2. Número de ordenes por año.
3. Cada cuanto tiempo llega un pedido.
4. Cual es el costo del inventario anual.
5. Cual es el punto de reorden si el tiempo de entrega es de 3 días.
   

Ejemplo 2 
Un agente de mercedes benz debe pagar 20 000 dólares por cada automóvil que compra , el costo anual de almacenamiento es de 25% del valor del automóvil , el agente vende 500 autos al año su costo por faltantes sera de 20000 dólares. Cada vez que el agente coloca un pedido su costo es de 10 000 dólares determine:

1. La cantidad que debe ordenar el cada pedido Q
2. El máximo nivel de inventario.
3. el numero de ordenes por año
4. El costo mínimo anual.

Modelo Económico EOQ Con Faltantes

Este modelo está diseñado para el tipo de situación donde ocurren faltantes de inventario (una demanda que no puede cubrirse en la actualidad porque el inventario está agotado) y los clientes generalmente pueden y están dispuestos a aceptar un retraso razonable en el surtido de sus productos si es necesario. Esto genera la necesidad de llevar registros adicionales que permitan cubrir las órdenes atrasadas, cuando se pueda reabastecer el inventario.

Suposiciones del modelo:

•    Una tasa de demanda constante. 
• La cantidad a ordenar para reabastecer el inventario llega toda a la vez cuando se desea.

Se permiten los faltantes planeados. Cuando ocurre un faltante, los clientes afectados esperan a que el producto esté disponible de nuevo. Sus órdenes pendientes se surten de inmediato cuando llega la cantidad ordenada para reabastecer el inventario.

Ejemplo

La demanda de un artículo es de 1000 unidades al mes, se permite défices. Si el costo unitario es de 1.50 dolare, el costo de hacer una compra es de 600 dolares, además el costo de tener una unidad en un inventario es de 2 dolares por año  y el costo por faltante es de 10 dolares al año. Determinar:

a) La cantidad optima que debe comprarse.

b) El nivel máximo de faltantes.

Solución.

d = 1000(12)

c = $ 1.50

k = $ 600

h = $ 2

p = $ 10

Modelo EOQ Descuento por Cantidad

A menudo los suministradores ofrecen descuentos en los precios del producto servido si les compramos en grandes cantidades. Tales descuentos se habrán de tener en consideración a la hora de decidir qué cantidad nos conviene adquirir y cuándo deberemos efectuar los pedidos.

Este modelo es idéntico al EOQ clásico, excepto que el artículo en el inventario se puede comprar con un descuento si el volumen de pedido excede un límite dado.

• Se trata de una lista de los descuentos por unidad correspondientes a cada compra.  
• Normalmente, el precio por unidad baja a medida que la cantidad aumenta.
• El costo no es lineal.
• Se establece un intercambio entre la reducción del precio y el aumento del costo de almacenamiento (Aumenta por cuanto los pedidos son mayores)

Procedimiento

1.-Para costo unitario use la fórmula del  EOQ para calcular la cantidad optima a ordenar.

2.-para  cada Cj donde Qj* se encuentra dentro del intervalo factible de cantidades a ordenar,calcule el costo total correspondiente por unidad de tiempo Tj donde :

Tj=dk/Q* + dCj  + hQ*/2

3.-Para cada Cj donde Qj* no están dentro del intervalo factible de cantidades a ordenar,determine la cantidad a ordenar  Qj que se encuentra rn rl punto terminal mas cercano a Qj*.Calcule el cossto total por unidad de tiempo Tj.

4.-Compare lo Tj obtenidos para todos lo Cj y elija el Tj mínimo, después seleccione la cantidad la cantidad a ordenar Q*j obtenidas en el paso 2 o 3, queda el Tj mínimo.

D = Demanda anual de producto

C = Costo del producto por unidad

Q = Cantidad optima a pedir

h = Costo anual de inventario

Ejemplo

Una empresa esta interesada en adquirir cajas para CD (10 unidades por caja), el valor unitario de cada caja depende de la cantidad adquirida de acuerdo a los valores de la tabla. La empresa requiere almacenar 10000 discos al año, el costo de emitir una orden se estima en 100 dolares, el costo unico de mantension de unidades esta asociado al costo de oportunidad del capital, el cual se asume 20 % al año.

Cada vez que se emita una orden : ¿Cuantas cajas para CD deben ser ordenadas?, ¿Cual es el costo total anual de satisfacer la demanda de  la empresa?

Modelo de Inventario Probabilístico

Consideramos un sistema de inventario de revisión continúa. El nivel del inventario debe ser supervisado de forma continúa por lo que una orden se debe colocar cuando el nivel del inventario llegue al punto de reorden es como que en un sistema de inventario de revisión continúa para un producto especifico se base en  dos números críticos.

R: punto de reorden

Q: cantidad a ordenar

Inventario de seguridad con la distribución normal

Cuando la demanda durante el tiempo de entrega (LT) tienen una distribución normal, el punto de reorden se convierte en :

Ejemplo

La compañía "X" y "M" tiene un inventario de varios artículos electrónicos que se identifican como SKU. Un artículo en particular tiene una demanda con distribución normal durante el tiempo de entrega con una media de 350 unidades y una desviación estándar de 10, la compañía quiere seguir una política en la que los faltantes ocurran tan solo 5% de las veces para cualquier orden. ¿Cuánto de inventario de seguridad debe almacenar y cual es el punto de reorden?

UNIDAD I: Análisis de Redes

Análisis de Redes

Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones. Las redes de transporte, eléctricas y de comunicaciones predominan en la vida diaria. La representación de redes se utiliza ampliamente en áreas tan diversas como producción, distribución, planeación de proyectos, localización de instalaciones, administración de recursos y planeación financiera, para nombrar sólo unos ejemplos. De hecho, una representación de redes proporciona un panorama general tan poderoso y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre los componentes del sistema, que se usa casi en todas las áreas científicas, sociales y económicas.

Problema del Camino Mas Corto

El problema de la ruta más corta incluye un juego de nodos conectados donde sólo un nodo es considerado como el origen y sólo un nodo es considerado como el nodo destino. El objetivo es determinar un camino de conexiones que minimizan la distancia total del origen al destino.

Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo, a entre el punto de partida o nodo inicial y el destino o nodo final.

Se aplica mucho para problemas de redes de comunicaciones.

Este tipo de problemas pueden ser resueltos por el método del Simplex, sin embargo existen otros métodos más eficientes como por ejemplo el algoritmo de Dijkstra o el de Bellman-Ford.

Algoritmo de Dijkstra 

Pasos a seguir

1.     Elaborar un cuadro con todos los nodos y los ramales que salen de él.

2.     Partiendo del origen, debemos encontrar el nodo más cercano a él.

3.     Anular todos los ramales que entren al nodo más cercano elegido.

4.     Comenzando en el origen se debe encontrar el nodo más cercano a él, por intermedio del nodo(s) ya elegido(s) y volver al tercer paso hasta llegar al destino.

Ejemplo: La administración de Seervada Park necesita determinar los caminos bajo los cuales se deben tender las comunicaciones para conectar todas las estaciones con una longitud total mínima de cable. Dada la red indicada en el paso a, se selecciona O como nodo inicial.Encontrar la ruta mas corta entre O y T, los números sobre los arcos se miden en millas.

Problema de Flujo Máximo

En términos generales, el problema de flujo máximo se puede describir de la siguiente manera:

1.     Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino.

2.     Los nodos restantes son los nodos de trasbordo

3.     Se permite el flujo a través de un arco solo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia afuera. En el destino, todos señalan hacia el nodo.

4.     El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.

Ejemplo: En la siguiente red determine el flujo máximo

El origen puede despachar 28 unidades y el destino puede recibir 22 unidades, pero por las restricciones, el destino solo puede recibir 19 unidades en la ruta AB- BC – CD – DF – FG.

Problema del Árbol de Expansión Mínima

El árbol de expansión mínima se refiere a utilizar las ramas o arcos de la red para llegar a todos los nodos de la red, de manera tal que se minimiza la longitud total.

Árbol de máximo alcance cuyo valor es mínimo, es decir, la suma de aristas es mínima.

Si n = número de nodos, entonces la solución óptima debe incluir n-1 arcos.

Algoritmo de Kruskal

Nos permite hallar el árbol mínimo de cualquier grafo valorado. 

Pasos a seguir

1.       Se marca la arista con menor valor. Si hay más de una se elige cualquiera de ellas.

2.       De las aristas restantes, se marca la que tenga menor valor, si hay más de una se elige cualquiera de ellas.

3.       Repetir el paso anterior siempre que la arista elegida no forme un ciclo con las ya marcadas.

4.       El proceso termina cuando tenemos todos los nodos del grafo en alguna de las aristas marcadas, es decir, cuando tenemos marcados n-1 arcos, siendo n el número de nodos del grafo.

Ejemplo 1: 

Ejemplo 2: 

1.     Tenemos un grafo como observamos las aristas son los conectores entre dos vértices o nodos ( bolitas de color ámbar y están enumeradas del 1 al 8) estas contienen un peso. luego elegimos la arista con menor peso (marcada de rojo)

2.     A este proceso de aristas se le suma el siguiente arista que sea menor(obviamente diferente al que habíamos elegido) con peso en este caso 29

3.     Elegimos a otra que tenga el menor peso (en este caso 31)

4.     Nos ubicamos el los vértices 2 y 8 , si en la arista que los conecta hubiera 32 como peso no se debe elegir ya que  debe ser un árbol que es un grafo no cíclico (no forma un ciclo o una cerradura de vértices). por lo tanto y en este ejemplo el 32 esta en el vértice 2 y 5.

5.     Seguimos tomando las aristas y que no formen un ciclo, estas tratan de conectar todos los vértices

6.     En este punto del proceso vemos que como caso especial que habíamos visto, no tomamos la arista de los vértices 2 y 3, pues formaría un ciclo

7.     Finalmente se han unido los vertices, sin formar un cilco en las aristas

Algoritmo de Prim

Pasos a seguir

Nos permite hallar el árbol minimal de cualquier grafo valorado (con capacidades).

1.     Se marca un nodo cualquiera, será el nodo de partida.

2.     Seleccionamos la arista de menor valor incidente en el nodo marcado anteriormente y marcamos el otro nodo en el que incide.

3.     Repetir el anterior paso siempre que la arista elegida enlace un nodo marcado y otro que no lo esté.

4.      El proceso termina cuando tenemos todos los nodos del grafo marcados.

Ejemplo:Determinar el árbol de mínima expansión para el siguiente grafo:

Siguiendo el algoritmo de Prim, tenemos:

1.     Elegimos, por ejemplo, el nodo 1 y lo marcamos.

2.     Elegimos la arista con menor valor incidente en 1, la (1, 3) = 1 la marcamos y marcamos el otro nodo en el que incide, el 3.

3.     Elegimos la arista con menor valor incidente en un nodo marcado y otro que no lo esté, la (1, 2) = 3 la marcamos y marcamos el nodo no marcado, el 2.

4.     Elegimos la arista con menor valor incidente en un nodo marcado y otro que no lo esté, la (2, 5) = 5 la marcamos y marcamos el nodo no marcado, el 5.

5.     Elegimos la arista con menor valor incidente en un nodo marcado y otro que no lo esté, la (5, 6) = 1 la marcamos y marcamos el nodo no marcado, el 6.

6.     Elegimos la arista con menor valor incidente en un nodo marcado y otro que no lo esté, la (5, 7) = 2 la marcamos y marcamos el nodo no marcado, el 7.

7.     Elegimos la arista con menor valor incidente en un nodo marcado y otro que no lo esté, la (5, 4) = 6 la marcamos y marcamos el nodo no marcado, el 4.

8.     FIN. Finalizamos dado que tenemos marcados los 7 nodos del grafo.

Por tanto el árbol de mínima expansión resultante sería:

Ruta Crítica 

(PERT-CPM)

El método PERT (Program Evaluation and Review Technique) desarrollado por la armada de los Estados Unidos de América en 1957, para controlar los tiempos de ejecución de las diversas actividades integrantes de los proyectos espaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de tiempos del proyecto Polaris.

El Método CPM (Critical Path Method), el segundo origen del método actual fue desarrollado también en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de investigación de operaciones para las firmas Dupont y Remington Rand, buscando el control y la optimización los costos mediante la planeación y programación adecuadas de las actividades componentes del proyecto. Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar el método de ruta crítica actual, utilizando el control de los tiempos de ejecución y los costos de operación, para buscar que el proyecto total sea ejecutado en el menor tiempo y al menor costo posible. 

El método de Ruta Crítica es un proceso administrativo (planeación, organización, dirección y control) de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse durante un tiempo crítico y al costo óptimo.

Por ejemplo iniciamos con la revisión de izquierda a derecha (hacia adelante) y se prosigue a los nodos siguientes.

Si concurren en un evento dos o más flechas, 
se toma la mayor como representativa. 

Ahora prosigue el cálculo en sentido contrario de derecha a izquierda (hacia atrás). Cuando de un evento parten varias cadenas de actividades o flechas,  se tomará la menor como representativa. La ruta crítica se encuentra como aquella ruta para la cual todas sus  actividades tienen holgura igual a cero.Generalmente se marca en la red la ruta crítica. En este caso la Ruta Critica es: Inicio – A – C – E – Fin